德国小城伍珀塔尔：避开人流，探寻藏于山丘的伍珀塔尔大学

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德国有个城市叫伍珀塔尔，它会偶尔在旅游指南里出现，原因是有悬挂式单轨列车，可这座城市却藏着现代数学史上特别激动人心的篇章。就在这儿，德国首位菲尔兹奖得主格尔德·法尔廷斯，度过了18个月与世隔绝的日子，完成了对“莫德尔猜想”的证明，这一下震动了整个数学界。





一座城市与一位隐士



伍珀塔尔不是那种传统概念里的学术重地，然而这儿给法尔廷斯提供了完成具有跨时代意义工作所需要的宁静。在1982年到1984年期间，他于伍珀塔尔大学担任教授，躲开了学术中心的喧闹嘈杂。恰恰是在这段时间里，他挑选了莫德尔猜想这个当时没人敢正面去攻克解决的难题。依据笔者在2023年于荷兰莱顿举行的数学会议上所见到的情况，法尔廷斯自身性格沉稳安静，在会上跟一位荷兰教授有关“德国博士生对导师的称呼”的交谈，仅仅用“Sie”回应了之后就不再多说别的话了，他的专注以及孤傲由此可见一斑。





伍珀塔尔的18个月期间，法尔廷斯过着差不多隐居的日子，他摒弃了一切没什么必要的社交，把全部精力都投入到去构建证明的过程里。这样的一种状态不是个别的情况，是他面对重大难题时候一贯采用的方式，就是把问题的难度当作挑战，即使成功的概率只有10%，也完全能够点燃他的热情。最后，他把莫德尔猜想这个悬而未决六十多年的难题，变成了属于自己的定理。



莫德尔猜想的起源



英国数学家路易斯·莫德尔于1922年提出了莫德尔猜想，此前莫德尔本人证明了关于椭圆曲线的一个关键定理，即定义在有理数域上的椭圆曲线，其有理点构成一个有限生成阿贝尔群，这意味着只需有限个有理点，就能通过群运算生成曲线上所有的有理点。



这一结论，不单单是纯数学领域的丰碑，还为后续的现代密码学筑牢了根基。莫德尔据此生出了一个顺理成章的拓展疑问：针对更为普遍的代数曲线，尤其是亏格超过1的高亏格曲线，其有理点集合会呈现出怎样的架构呢？他通过运算推测，在此情形下 ，有理点的数量并非无限或者有限生成，而是单纯的“有限”。这就是莫德尔猜想的关键所在。



费马大定理的桥梁



莫德尔猜想具备重要性，原因在于它跟费马大定理存在着深刻的联系，对于费马方程 \(x^n + y^n = z^n\)，当指数 \(n \geq 4\) 时，其非平凡整数解对应着一条代数曲线上的有理点，而这条代数曲线的亏格要大于1。





要是莫德尔猜想得以成立，那就意味着针对于每一个 \(n \geq 4\) 的情况，费马方程所拥有的互质整数解顶多只有有限的几组。虽然这样子没办法直接去证明费马大定理（也就是把存在解的可能性给排除掉），不过在1980年代的时候，法尔廷斯证实了这个猜想，毫无疑问地为最终成功攻克费马大定理注入了强有力的信心。莫德尔猜想被证明好了以后，正式改名为“法尔廷斯定理”。



证明中的两座大山





法尔廷斯所给出的证明，并非是对于莫德尔方法那种简单的推广，莫德尔针对椭圆曲线的证明，依赖着两个核心工具，其一呢，是借助“高度”这一概念，去证明在给定高度界限范围之内，仅仅存在着有限数量的有理点，其二呢，是借助挠群结构，以此来控制高度的增长。然而，这些相关技巧难以径直移植到高亏格曲线。



法尔廷斯遭遇两项极为巨大的技术方面的障碍，其一，他得去为高亏格曲线界定恰当合适的 “高度” 概念，而这推动促使了 “法尔廷斯高度” 的产生出现，它通过借助算术概型理论发展而来，其二，他需要找寻一个能够替代挠群、用来控制该高度的代数结构，最终结果是他引入了 “泰特模”，也就是 \(p\)-幂阶挠群的极限，证明过程还关联涉及到伽罗瓦表示与平展上同调等在当时属于前沿的理论。



从证明到领域的开拓



由法尔廷斯完成的、以德文呈现的证明论文，被视作结构化数学写作的典范，在证明莫德尔猜想之后，他前往普林斯顿大学担任教授，并且于1986年获得菲尔兹奖，在普林斯顿那段时间，他指导了多位杰出数学家，其中包括迈克尔·拉尔森、望月新一。



1991年，数学家保罗·沃伊塔借助丢番图逼近与阿拉克洛夫几何给出了一个全新的证明，而他并未仅仅停留在证明自身上。法尔廷斯为此感到兴奋，随后迅速运用新方法对莫德尔猜想进行了推广。在此之后，他持续深入钻研阿拉克洛夫几何，其研究几乎延伸到该领域的每一处角落，致使任何一本与之相关的教科书都无法绕过于他的名字。



回到德国与持续影响



1994年，法尔廷斯返回德国，出任马克斯·普朗克数学研究所所长，且很快把波恩变为全球算术代数几何的核心所在。一直到2018年退休，他一直看重教学，觉得授课能够使自己维持脚踏实地的状态。对于退休之后的生活，他觉得思考方面的工作能够一直持续下去。



并非仅仅局限于莫德尔猜想，法尔廷斯有着诸多工作。他针对法尔廷斯高度展开的研究，促使模空间紧化这个极为深奥的领域得以发展。他在 \(p\)-可除群方面所做出的贡献，为 \(p\)-进霍奇理论开启了序幕，像他证实了让 - 马克·方丹提出的晶体猜想。虽说如今这一领域是由新一代数学家引领前行的，然而其基础毫无疑问是由法尔廷斯奠定的。



在伍珀塔尔这座没多少名胜的城市里，有一位数学家，他历经18个月的孤独探寻，不但证明了一道世纪难题，还开创了数论与代数几何的多个全新方向。这说不定恰好证实了他的那句名言，即他偏好挑选不那么热门的方向，仅仅是为了无需与人竞争。



你有没有在某些时候，因某个看上去冷门或者艰难的方向，从而萌生出想要进行深入探究的冲动呢？欢迎在评论区域分享你的经历，并且为这位孤单且执着的数学家点赞。