中国数学家王虹获菲尔兹奖，破解百年数学难题

在数学的世界范围之内, 存在着一个困扰了众多学者达到上百年时间之久的谜题, 它被称作是“挂谷猜想”。长久以来, 它仿佛是像一座难以去攻克下来的碉堡那般, 阻拦着无数具有天赋之人的脚步得以挪动。然而, 在2025年的时候, 那位来自中国的数学家王虹与约书亚·扎尔（Joshua Zahl）展开合作, 最终是成功地破解掉了这一处于三维空间之中的相当核心的难题。这一项成就不仅仅是标志着数学分析领域方面的重要的里程碑, 而且还使得我们能够由此窥视到这个看起来似乎是简单但实际上却是颇为深奥无比的几何方面问题背后所包含着的宏大的图景。

要领会王虹以及扎尔所达成的突破, 首先就得朝向“挂谷转针问题”起始讲述。这个谜题的初始表述具备相当直观化的特性: 于一个平面范围之内, 有一根长度达到1的针, 在不脱离某个特定区域的条件之下, 借由旋转以及平移的方式, 能不能够扫掠过一个面积能够任意小的区域呢? 在1917年的时候, 苏联数学家贝西科维奇给出了一个令人感到极为震惊的答案: 没错, 确实存在这样的集合, 其面积能够无限地趋向接近0, 甚至严格来讲测度是为0的, 然而却依旧能够容纳指向所有不同方向的单位线段。这便是声名远扬的“贝西科维奇集”, 同时也被称作“挂谷集”。

充满数学反直觉魅力的是贝西科维奇的解答, 他所构建的图形既不是简单的圆形, 也不是普通的正方形, 而是一种极为复杂的分形结构, 为了处理集合中针不能连续移动的问题, 数学家引入了“鲍尔连接”的技巧, 证明针扫过的面积虽说能够任意小, 但绝不是绝对为零, 这一发现把实分析里的积分问题与平面几何奇妙地关联在了一起, 致使贝西科维奇集成为钻研几何测度以及调和分析的重要工具。

研究深入之际, 数学家们察觉到, 挂谷集的维度信息有着关键意义。对于零测集而言, 维数存在不止一种定义, 当中最知名的是豪斯多夫维数。于1维情形下, 问题是简单的；不过在2维及以上, 特别是3维及更高维度时, 问题变得极为复杂。数学家作出猜测, 在n维欧几里得空间里, 涵盖所有方向单位向量的挂谷集, 其闵可夫斯基维数与豪斯多夫维数是否都等同于n? 这便是高维挂谷猜想的关键所在。

为何这个猜想这般重要呢, 是由于它跟分析学里的三大核心猜想, 也就是限制猜想、Riesz猜想以及局部平滑猜想, 存在紧密关联。这些猜想乃是傅里叶分析理论的根基所在, 而傅里叶变换作为物理学家以及工程师极为强大的工具之一, 其理论基础依靠这些猜想的成立。另外, 解决挂谷猜想的技术或许还能推动数论领域重大成果, 举例来说像是黎曼猜想相关研究的证明。能够这么讲, 贝西科维奇集的几何形状撑起了偏微分方程、调和分析等诸多前沿领域的课题。

2022年早些时候, 陶哲轩等一些人于Katz - Tao框架范围里有了进展, 给后续的研究明确了方向。王虹在麻省理工学院读博的时候, 跟随著名数学家拉里·古斯学习, 在调和分析领域深入钻研。她很敏锐地察觉到, 大概在2020年的时候, 好多学者依旧觉得三维挂谷猜想没法解决是因为缺少有效的工具。然而王虹跟扎尔选择了勇敢面对困难。

那突破是对他们来说, 在2025年的时候, 富有创新地把投影理论给引入进来, 还把陶哲轩等人的框架加以沿用且深化。通过去比较宽度跟实体针的数值关系, 凭借反证法推导出矛盾, 进而在特定类型的贝西科维奇集那儿证明了3维空间的挂谷猜想是成立的。这成果可不是孤立地存在着, 而是依托了百年的数学积淀, 展现出有着殊途同归意味的科学美感。

王虹跟扎尔开展的此次合作, 不但把一个特定的几何问题搞清楚了, 还将现代数学不同分支间极为深刻的内在联系给呈现出来了。从最开始的转针趣题起, 到分形几何的维度探讨中, 再到调和分析的中心猜想项, 这条线索在整个证明过程里是贯穿始终的。虽说要彻底解答普遍情形下的挂谷猜想还得花上些时候, 然而三维情况的突破毫无疑问就是一次极大的鼓舞。这使我们心怀期待, 在那天来临前, 会有更多数学奥秘被揭示, 会有更多学科壁垒被破除。

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